Distribucion binominal

La distribuci´on binomial o de Bernoulli

La distribuci´on binomial est´a asociada a experimentos del siguiente tipo:

- Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos s´olo la posibilidad de ´exito o

fracaso.

- La obtenci´on de ´exito o fracaso en cada ocasi´on es independiente de la obtenci´on de ´exito o

fracaso en las dem´as ocasiones.

- La probabilidad de obtener ´exito o fracaso siempre es la misma en cada ocasi´on.

Ve´amoslo con un

ejemplo

Tiramos un dado 7 veces y contamos el n´umero de cincos que obtenemos. .Cu´al es la probabilidad

de obtener tres cincos?.

Este es un t´ıpico ejemplo de distribuci´on binomial, pues estamos repitiendo 7 veces el experimento

de lanzar un dado. .Cu´al es nuestro ´exito?.

Evidentemente, sacar un 5, que es en lo que nos fijamos.

El fracaso, por tanto, ser´a no sacar 5, sino sacar cualquier otro n´umero.

Por tanto, ´Exito = E = “sacar un 5” =

1

6

Fracaso = F = “no sacar un 5” =

5

6

Para calcular la probabilidad que nos piden, fij´emonos en que nos dicen que sacamos 3 cincos y

por lo tanto tenemos 3 ´exitos y 4 fracasos, .de cu´antas maneras pueden darse estas posibilidades?.

Podr´ıamos sacar 3 cincos en las 3 primeras tiradas y luego 4 tiradas sin sacar cinco, es decir: EEEFFFF

Pero tambi´en podr´ıamos sacar EFEFFFE, es decir que en realidad estamos calculando de cu´antas

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⇒ p(E) =⇒ p(F) =

CAP´ITULO 3. DISTRIBUCI´ ON BINOMIAL Y DISTRIBUCI´ ON NORMAL

maneras se pueden ordenar 4 fracasos y 3 ´exitos. Recordando las t´ecnicas combinatorias, este problema

se reduce a calcular las permutaciones con elementos repetidos:

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P

7

7!

3!

=

7

3

= 35formas

Y por tanto, como

1

6

y tengo 3 ´exitos y

5

6

y tengo 4 fracasos:

3,4=・ 4!・ 6 ・ 5・ 2 ・ 1p(E) =p(F) =

p

(tener 3 ´exitos y 4 fracasos) = 35 ・

1

6

・

1

6

・

1

6

・

5

6

・

5

6

・

5

6

・

5

6

= 0

Formalizando lo obtenido, en una variable binomial con 7 repeticiones y con probabilidad de ´exito

1

6

,

la probabilidad de obtener 3 ´exitos es 0’0781, y lo expresar´ımos:

Bin

0781

7;

1

6

,

Como repetir este proceso ser´ıa bastante penoso en la mayor´ıa de los casos, lo mejor es recurrir a la

siguiente f´ormula que expresa la probabilidad de obtener cierto n´umero de ´exitos en una distribuci´on

binomial:

entonces p(X = 3) = 0 0781

Definici´on de distribuci´on binomial:

Si realizamos n veces un experimento en el que podemos obtener ´exito, E, con probabilidad p y

fracaso, F, con probabilidad q (

par´ametros n y p, y lo representaremos por Bin(n;p). En este caso la probabilidad de obtener k ´exitos

viene dada por:

q = 1 − p), diremos que estamos ante una distribuci´on binomial de

p

(X = k) =

n

k

・

pk ・ q(n−k)

Nota:

Observar que las probabilidades de ´exito y fracaso son complementarias, es decir, q = 1-p y p =

1-q, por lo que basta saber una de ellas para calcular la otra.

Ejemplo:

Antes ten´ıamos Bin

7;

1

6

, y quer´ıamos calcular p(X=3) (obtener 3 ´exitos). Aplicando la f´ormula:

p

(X = 3) =

7

3

・

1

6

3

・

5

6

4

= 0

0781

Ejemplo:

Supongamos que la probabilidad de que una pareja tenga un hijo o una hija es igual. Calcular la

probabilidad de que una familia con 6 descendientes tenga 2 hijos.

En este caso ´Exito = E = “tener hijo” y p(E) = 0’5.

Fracaso = F = “tener hija” y p(F) = 0’5.

Estamos por tanto ante una binomial Bin(6;0’5) y nos piden p(X=2).

Si aplicamos la f´ormula es:

p

(X = 2) =

6

2

・

(0 5)2 ・ (0 5)4 = 0 2344

Nota:

La elecci´on de ´exito o fracaso es subjetiva y queda a elecci´on de la persona que resuelve el problema,

pero teniendo cuidado de plantear correctamente lo que se pide. En el caso concreto del ejemplo

anterior, si:

´Exito =

“

tener hija”, como nos piden la probabilidad de que una familia con 6

hijos tenga 2

hijos,

si el ´exito es tener hija hemos de plantearnos cu´al es la probabilidad de tener 4 ´exitos (4 hijas), es