Medidas de tendencia central: Media, Mediana, Moda
Ahora nos ocuparemos exclusivamente de las variables cuantitativas, puesto que con los atributos no se pueden realizar operaciones aritméticas. Como hemos estudiado, las variables estadísticas cuantitativas se dividen o clasifican en discretas o continuas, por lo que necesitaremos precisar cómo se calculan dichas medidas en cada caso.
Las medidas estadísticas pretenden "resumir" la información de la "muestra" para poder tener así un mejor conocimiento de la población.
Las medidas de tendencia central corresponden a valores que generalmente se ubican en la parte central de un conjunto de datos. (Ellas permiten analizar los datos en torno a un valor central). Entre éstas están la media aritmética, la moda y la mediana.
a) Media aritmética _
( X )
Es aquella medida que se obtiene al dividir la suma de todos los valores de una variable por la frecuencia total. En palabras más simples, corresponde a la suma de un conjunto de datos dividida por el número total de dichos datos.
X = suma de todos los valores = x1 + x2 + x3 + x4 + ......
número total de datos n
Ejemplo 1:
En matemáticas, un alumno tiene las siguientes notas: 4, 7, 7, 2, 5, 3
n = 6 (número total de datos )
X = 4 + 7 + 7 + 2 + 5 + 3 = 28 = 4,8
6 6
La media aritmética de las notas de esa asignatura es 4,8. Este número representa el promedio.
Ejemplo 2:
Cuando se tienen muchos datos es más conveniente agruparlos en una tabla de frecuencias y luego calcular la media aritmética. El siguiente cuadro lo ilustra.
Largo (en m)
Frecuencia absoluta
Largo por Frecuencia absoluta
3
10
5 . 10 = 50
6
15
6 . 15 = 90
7
20
7 . 20 = 140
8
12
8 . 12 = 96
9
6
9 . 6 = 54
Frecuencia total = 63
430
X = 430 = 6,825
63
Se debe recordar que la frecuencia absoluta indica cuántas veces se repite cada valor, por lo tanto, la tabla es una manera más corta de anotar los datos (si la frecuencia absoluta es 10, significa que el valor a que corresponde se repite 10 veces).
b) Moda (Mo)
Es la medida que indica cual dato tiene la mayor frecuencia en un conjunto de datos, o sea, cual se repite más.
Ejemplo 1:
Determinar la moda en el siguiente conjunto de datos que corresponden a las edades de niñas de un Jardín Infantil.
5, 7, 3, 3, 7, 8, 3, 5, 9, 5, 3, 4, 3
La edad que más se repite es 3, por lo tanto, la Moda es 3 (Mo = 3)
Ejemplo 2:
20, 12, 14, 23, 78, 56, 96
En este conjunto de datos no existe ningún valor que se repita, por lo tanto, este conjunto de valores no tiene moda.
c) Mediana (Med)
Es el valor central de un conjunto de valores ordenados en forma creciente o decreciente. Dicho en otras palabras, la Mediana corresponde al valor que deja igual número de valores antes y después de él en un conjunto de datos agrupados.
Según el número de valores que se tengan se pueden presentar dos casos:
- Si el número de valores es impar, la Mediana corresponderá al valor central de dicho conjunto de datos.
- Si el número de valores es par, la Mediana corresponderá al promedio de los dos valores centrales (los valores centrales se suman y se dividen por 2).
Ejemplo 1:
Se tienen los siguientes datos: 5, 4, 8, 10, 9, 1, 2
Al ordenarlos en forma creciente, es decir de menor a mayor, se tiene:
1, 2, 4, 5 , 8, 9, 10
El 5 corresponde a la Med, porque es el valor central en este conjunto de datos impares.
Ejemplo 2:
El siguiente conjunto de datos está ordenado en forma decreciente, de mayor a menor, y corresponde a un conjunto de valores pares, por lo tanto, la Med será el promedio de los valores centrales.
21, 19, 18, 15, 13, 11 ,10, 9, 5, 3
Med = 13 + 11 = 24 = 12
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Ejemplo 3:
En el gráfico de barras (que tiene un número par de columnas) los valores centrales son 72 y 77, por lo tanto, la
Med = 72 + 77 = Med = 149 = 74,5
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Técnicas de Conteo
Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.
Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades.
Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña,
3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc. Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas: La técnica de la multiplicación, la técnica de la permutación, y la técnica de la combinación.
La Técnica de la Multiplicación
La técnica de la multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas
En términos de fórmula
Número total de arreglos = m x n
Esto puede ser extendido a más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o:
Número total de arreglos = m x n x o
Ejemplo:
Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?
Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin).
Número total de arreglos = 3 x 2
No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos de modelos de autos y rines en este ejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo con todas las posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación fácilmente realizamos el cálculo:
Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48
AREAS BAJO LA CURVA NORMAL Conceptos preliminares: La Distribución Normal: Es una distribución cuyas variables aleatorias pueden tomar un número infinito de
posibles valores, o cuyas diferencias entre si pueden ser infinitesimales; por lo tanto es
una distribución continua, ya que sus variables pueden medirse con el grado de
precisión que se desee.
Algunos ejemplos de variables continuas son las medidas de:
. Tiempo (años, meses, días, horas, minutos, segundos, etc.)
. Distancia (Km, metros, centímetros, milímetros, etc.)
. Estatura
. Peso
. Coeficiente intelectual CI (IQ)
Importancia de la Distribución Normal: • Existen numerosas variables que parecen seguir una forma similar a la
distribución normal (pesos, alturas, coeficientes intelectuales, calificaciones en
exámenes, etc.)
• La distribución muestral de muchos estadígrafos muestrales como la media
tienen una distribución aproximadamente normal e independiente de la
configuración de la población, si los datos son suficientemente numerosos.
• Es una excelente aproximación a otras distribuciones muestrales como la de Poisson y Binomial, por ejemplo. • La Función Normal: Es una curva lisa, de forma acampanada y unimodal como se presenta en la figura 1.1
Combinaciones
- Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
- Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)
1. Combinaciones con repetición
2. Combinaciones sin repetición
- imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),
- después lo cambiamos para que el orden no importe.
El orden importa | El orden no importa |
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 | 1 2 3 |
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden no importa) |
Notación
Ejemplo
16! | = | 16! | = | 20,922,789,888,000 | = 560 |
3!(16-3)! | 3!×13! | 6×6,227,020,800 |
16×15×14 | = | 3360 | = 560 |
3×2×1 | 6 |
16! | = | 16! | = | 16! | = 560 |
3!(16-3)! | 13!(16-13)! | 3!×13! |
Triángulo de Pascal
1 14 91 364 ... 1 15 105 455 1365 ... 1 16 120 560 1820 4368 ...
1. Combinaciones con repetición
Digamos que tenemos cinco sabores de helado: banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay? Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}. Algunos ejemplos son
|
El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!)
Imagina que el helado está en contenedores, podrías decir "sáltate el primero, después 3 paladas, después sáltate los 3 contenedores siguientes" ¡y acabarás con 3 paladas de chocolate! | |
Entonces es como si ordenaras a un robot que te trajera helado, pero no cambia nada, tendrás lo que quieres. |
{c, c, c} (3 de chocolate): | |
{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla): | |
{b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla): |
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (Se puede repetir, el orden no importa) |
(5+3-1)! | = | 7! | = | 5040 | = 35 |
3!(5-1)! | 3!×4! | 6×24 |